Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. On remplit ensuite les paramètres comme indiqué ci-contre. Avec Texas Instruments : La loi de probabilité de X est de tableau donnant  : en première liste, le nombre de succès possible, donc tous les entiers k allant de 0 à n. en deuxième liste, les probabilités d'obtenir exactement 0, 1, ..., \(n\) succès parmi les n épreuves. \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Exercices : Loi Binomiale ou non Exercice 1. \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} Bien évidemment, sa probabilité p est égale à $\frac{1}{6}.$ On fait par exemple 6 essais et on souhaite que l'on y arrive 2 fois. \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}\approx 7,39\) il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 8 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. On appelle "échec \(E\) " le tireur râte la cible" avec la probabilité \(q=0,3\). On met \(\fbox{List 2}\) en surbrillance puis \(\fbox{F5}~ DIST~ ~ \fbox{F5} ~ BINM~ ~ \fbox{F1}~Bpd\). Tout d'abord, on crée dans la liste L1 les valeurs de k possibles au moyen de la fonction SEQ se trouvant dans \(\fbox{2nd}~ \fbox{LIST} ~ \fbox {OPS}~ ~ 5 :seq\). \DeclareMathOperator{\diam}{diam} %PDF-1.3 Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq n\), on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\times\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n-k}\]. Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq n\), on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^k\times\left( \dfrac{5}{6}\right)^{n-k}\], Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{6} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{6}\right) < 0 \end{array}\]. \], \[P( X = 2)\approx 0.441 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. Il tire 3 fois de suite. \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} Cette méthode, applicable uniquement sur TI, est décrite dans le document papier du paragraphe suivant. \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de coups dans la cible est égale au nombre de succès , d'après le cours , \(X\) suit la loi binômiale de paramètre 3 et 0,7. \DeclareMathOperator{\comat}{comat} }\], \[P( X = 2)\approx 0.075 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} ��@�]�`�:k��o�WxKIK)��'*r���jy�;��S�cS��K7UmoVh;���탬p�"R�D~������Жe+�M�v϶���~�e:V��T��pKXS�p Donc \(P(S\geq8)=\dfrac{Card(S\geq8)}{(Card(\Omega)}= \dfrac{15}{36}=\dfrac{3\times 5}{3\times 12}=\dfrac{5}{12}\). \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} Méthode : Représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,4. Tester ses connaissances. Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 10\), on a \[P(X=k)=\binom{10}{k}\times \left(0,05\right)^k\times\left( 0,95\right)^{10-k}\], 2ND DISTR 0binomFdP( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(10,0.05,2) \approx 0.075\), 2ND DISTR AbinomFRép( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \[binomFR\text{é}p(10,0.05,2) \approx 0.988\]. Publié par Luc GIRAUD. \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \( V(X)=n\times p\times q=3\times 0,7\times (1-0,7)=0,63\). Cette fois-ci \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de succès suit la loi binômiale de paramètre \(n\) et \(p=\dfrac{1}{3}\).\(X\) prend les valeurs entières \(k\) où \(0\leq k\leq n\) et \(P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-k}\). La variable aléatoire \(X\) est définie par le nombre de coups dans la cible. \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} R�'�w�������rS���� �8_�h��bc{ؤ>��a�u>Px ���fh+@ﴭ�. La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. On répète trois fois de suite cette expérience de façon indépendante et donc. Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 au moyen de la fonction binompdf se trouvant dans \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\).. La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre : Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 au moyen de la fonction binompdf se trouvant dans \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\). a) Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? Quand vous aurez assimilé les bases, vous pourrez consulter la page sur la loi binomiale avec Excel.. Présentation \DeclareMathOperator{\supp}{supp} Utilisation de la calculatrice Équipe Académique Mathématiques Page 1 Bordeaux Loi Binomiale et calculatrice La variable aléatoire X suit la loi binomiale b(n;p) ; alors k 1 nk n PX k p p k avec 0 kn Nous choisissons ici une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale b(10;0,3) Casio : Graph 35+ et … Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 20\), on a \[P(X=k)=\binom{20}{k}\times \left(\dfrac{5}{12}\right)^k\times\left( \dfrac{7}{12}\right)^{20-k}\]. (G. Frugier - Les probabilités sans les boules) Une chenille processionnaire descend le long d’un grillage. A l'aide d'une calculatrice on obtient la loi de probabilité de \(X\): 2ND DISTR 0binomFdP( 3 , 0.7,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(3,0.7,2) \approx 0.441\), Remarque: Sur TI 89 on peut créer un fonction ou un programme sur la calculatrice, si on veut afficher directement la loi de probabilité de \(X\), \(F\) la fonction de répartition de \(X\) est définie par \(F(x)=P(X\leq x)\). Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 en allant dans le \(\fbox{MENU}~ STAT 2\). 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. La première commande permet de stocker toute la loi de probabilité dans la liste L2. }\], \[P( X = 10)\approx 0.133 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. �w����h��o�����o#ۙ���x�ڧd��08H��<8c���]_v�Pg�=�t��ue�ӳ�/?Pb�P���7�#zqr�a��B�p���� �Ӌ��J�����`SOU=4��p?r$h�ӿ.i�a��GU���5i���(�p�Rh����Mq�>p_�S�=�up-]y�e����ۮ�`������^�1��02�5U?�K4A������n��D��z�����_~�?ڛ"/�mm��k#yʼm�d�ض��U[wU=_U�=p�7�5���ik�j���� \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} Déterminons la loi de probabilité de \(S\): la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros. \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} x�]ݒ%7����(X�f�r�T�,\��D�k�ib/.�Ƴ��{wۻ�\����>|))?�~T���`��ёR��W*%]����4��v���)����il��LUc��|�����u��gO��{*k����U���˗v2�`1`���LS�=��ޖ�>nʏooMi�ۗ��ܔ�_���:\������yp]]_
2020 exercice loi binomiale calculatrice