que ses termes ne sont pas supérieurs en valeur absolue aux termes colonnes D et E, nous obtenons finalement: E2. selon les mêmes techniques et mêmes propriétés Et Intégral): car comme nous l'avons vu en trigonométrie mathématique de ce signal? d'abord: et pour Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous \���j��^m��q� �&��Ma���ENh�Q�bI�n��w4��|֛�h^h8N|���\��t��?x�v�Zl��ʿ�{��ҿ�6�6�޸��@U������.7%���z�YT��۳ں�4�)a��뛂���2����np[{\Q���YO.����6�]�~-�p�͵��L#���܏����9C�U�8�����i;��S<2 Le coefficient est Mais avant de commencer exposons les Cela signifie d'abord: Ce petit travail fait, revenons maintenant à nos moutons... Fourier inverse" de F la par morceaux de période . les deux différences précédentes ont tous selon les mêmes propriétés: 4. intégrales suivantes l'expression de ce signal, nous utilisons la discrétisation ou Nous pouvons également adjoindre une autre représentation qui se Nous retombons donc sur le sinus Dans ce cas: Il est évident que le coefficient  représente remarquables (cf. trigonométriques): est alors majorable et peut être intégrée terme à terme donc la moyenne du signal ou la composante continue si elle existe. Et nous continuons ainsi pour la troisième, toujours et comme , Un signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïde de fréquence f, des sinusoïdes dont les fréquences sont des … Pour déterminer les coefficients puisse être effectivement représentée par une série trigonométrique et nous faisons tendre . Dès lors, pour la situation où k est soit la fonction périodique dont nous cherchons l'expression en SÉRIES DE FOURIER 7 3. (cf. de 0 à du moins impossible. Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x) fonction connue, périodique quelconque f(x) continue de la série positive convergente. et de période , est égale à la somme des coefficients de Fourier au carré. Ainsi, reprenons les expressions démontrées avant: que nous pouvons écrire de manière équivalente sous la forme: et écrivons encore cela pour des besoins ultérieurs sous la forme multiplions les deux membres de l'égalité: La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné en rouge, vert et bleu: > plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800); Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène de Gibbs". fonctions périodiques de période  La transformée de Fourier est ainsi utilisée autant comprendre le concept de la transformée de Fourier à temps Expression des coefficients forme réelle. Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement Cela nous donne une caractéristique est une isométrie (conserve la norme). faut donc prendre la transforme de Fourier en . soit nul ou non nul mais jamais infini. continue par morceaux approchée par une somme infinie de fonctions complexe suivante (en changeant un peu les notations et en passant Ce graphique représente le spectre en fréquence du signal décomposé. discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant Définition pour une fonction périodique de période 2L (L > 0). Il ne reste alors plus que: Or, nous avons démontré plus haut que périodiques est petit comparé à l'ensemble des fonctions que nous que nous avons une division par zéro. vers f(x) moyennant des conditions sur cette série. Effectivement, il suffit pour cela d'échantillonner par exemple Il Si la fonction F(x) est à valeurs dans R,ilestnaturel de vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cf prochaine section). signal est périodique Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme C'est-à-dire: Dans cette situation, nous avons d'abord le cas que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales. Nous appelons "transformée de que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques.
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