b )  est le symbole de Legendre, qui est un caractère quadratique mod p. Une formule analogue avec un caractère général χ à la place du symbole de Legendre définit la somme de Gauss G(χ). n . Sommes quadratiques de Gauss généralisées, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_quadratique_de_Gauss&oldid=161416843, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article contenant un appel à traduction en allemand, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, L'évaluation de la somme de Gauss peut être réduite au cas, La valeur exacte de la somme de Gauss, calculée par Gauss, est donnée par la formule, Les sommes de Gauss sont multiplicatives au sens suivant : étant donnés des entiers naturels. b ψ {\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right)} 2 . ( ) a , = 0 Ici  4 Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. a Line: 479 Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples. a 2 Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. Les valeurs des sommes de Gauss pour b = 0 et pgcd(a, c) = 1 sont explicitement données par la célèbre formule de Gauss : où  Comme autre exemple, si 4 divise c et si b est impair et pgcd(a, c) = 1, alors G(a, b, c) = 0. Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php 1 La somme de Gauss généralisée G(a, b, c) est définie par. {\displaystyle 4\psi (a)a\equiv 1{\bmod {c}}} La dernière modification de cette page a été faite le 10 février 2019 à 10:56. Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité. , ) ψ Line: 478 Dernière modification le 10 février 2019, à 10:56, la méthode de Gauss pour calculer la somme des n premiers entiers, analyse harmonique sur un groupe abélien fini, groupe multiplicatif de ses éléments non nuls, Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_de_Gauss&oldid=156620776, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ) Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique. Line: 192 de deux façons différentes) est. mod b ( < ) On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur. G (en) Eric W. Weisstein, « Gaussian Sum », sur MathWorld. n En effet, la définition d'une somme de Gauss implique : G ( χ , ψ m ) = ∑ k ∈ F p ∗ χ ( k ) ψ ( m k ) . a G Souvent, la somme de droite est aussi appelée une somme de Gauss quadratique. 1 = = n Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. a  prend exactement deux fois chaque valeur paire. . 0 a Somme de Gauss En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l' analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/ p ℤ où p désigne un nombre … a + La somme de Gauss classique est la somme  mod (
2020 somme de gauss